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《东北大学》 2009年
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若干类生物动力系统的复杂性分析及控制

刘超  
【摘要】:20世纪50年代以来,多门学科从不同角度诠释了生命运动的本质,并推动了生物学突飞猛进的发展。随着数学、力学向生物学的渗透,生物动力学应运而生,主要研究生物种群与环境之间的关系,以及给定生物种群与相关种群共存和相互作用的机制。通常情况下,生物动力系统是典型的非线性复杂系统。目前其动态行为及控制问题的研究已取得一些成果,但仍有许多问题亟待解决。 本文应用分岔、混沌及其控制理论,研究了若干类生物动力系统的动态行为及其控制问题,主要有具有时滞与阶段结构的食饵一捕食者系统的最优捕获,具有周期扰动与阶段结构的食饵—捕食者系统的复杂性分析及控制,以及广义生物动力系统的分岔、混沌行为及控制等问题。全文工作包括如下几个方面: (一)介绍了生物动力学以及本文重点研究的若干类生物动力系统及其研究现状,其中包括具有阶段结构的食饵—捕食者系统,具有竞争行为的生物动力系统,食饵种群具有传染病的食饵—捕食者系统,广义生物动力系统和混沌生物动力系统。此外,还介绍了生物动力系统控制问题及其研究现状。 (二)研究了捕获行为对具有时滞和阶段结构的食饵—捕食者系统渐近稳定性的影响。为了保证该生态系统内各种群的可持续发展与捕获行为获得最大的经济利益,应用税收作为调控手段控制捕获行为,并利用Pontryagin最大值原理,求出了最优捕获努力量以及与之相关的最优调控税率。研究结果表明,税收是一种具有建设性的调控手段,它能够有效地限制捕获行为,从而抑制对生态资源的过度捕获并达到保护生态资源的目的。另外研究了时滞变化对系统稳定性的影响。当时滞为零时,系统在正平衡点附近渐近稳定;当时滞存在时,系统稳定性随时滞的增长而发生变化。时滞超过一定阈值时,系统失稳并出现Hopf分岔。 (三)应用定性与定量相结合的方法分析了具有周期扰动与阶段结构的食饵—捕食者系统的复杂动态行为。研究结果表明,随着周期扰动振幅的变化,系统出现了周期、准周期、混沌等复杂动态行为。同时在混沌状态下,系统存在着切分岔,周期、准周期等复杂动态行为,即存在着丰富的层次与自相似结构。为了控制系统的混沌行为,根据Pyragas方法设计了反馈控制器,通过对系统中食饵种群以及幼年捕食者种群的控制,将原本无规律、起伏很大的系统状态响应稳定到周期轨道上,使系统由混沌状态转化为周期状态。 (四)虽然对广义生物动力系统复杂动态行为与控制的研究已经取得了一些成果,但是与正常生物动力系统的研究成果相比还相差甚远,广义生物动力系统的研究尚在起步阶段,还有许多亟待解决的问题。本文应用粒子群优化方法设计了一种将高维广义生物动力系统化简为低维广义生物动力系统的算法,应用该算法求得的降阶广义系统可以较好地逼近原广义系统,同时还能保持原广义系统的若干结构特性。该研究成果有助于将维数较高的广义生物动力系统通过降阶处理化为维数较低的系统,进而通过分析降阶系统来研究原广义生物动力系统的动态行为与控制问题。 (五)捕获行为的最终目的是为了获取该类生物资源的使用价值,并据此谋取经济利益。一般来讲,受市场经济诸多因素的影响,捕获行为会根据经济利益的变化进行相应调整。因此,研究经济利益的变化对生物动力系统动态行为的影响,具有一定现实意义。本文利用广义系统理论与分岔理论研究了具有时滞、阶段结构与竞争行为的广义生物动力系统在正平衡点附近的局部分岔行为。研究结果表明,在时滞为零的情况下,当捕获行为的经济利益由负变正通过零时,上述系统在正平衡点附近出现奇异诱导分岔;经济利益为正时,系统会失去稳定性。为了解决上述问题,考虑了对系统施加状态反馈控制器,消除系统在经济利益为零时的奇异诱导分岔。另一方面,研究了捕获行为经济利益的取值范围,使得在此范围内可以保证系统内各种群的可持续发展,并在此基础上,设计状态反馈控制器,使得系统在给定的经济利益情况下仍能保持稳定。除此以外,研究了时滞变化对广义生物动力系统稳定性的影响。研究结果表明,当捕获行为的经济利益为正并且时滞超过一定阈值时,系统就会失稳并出现H叩f分岔,与正常生物动力系统的研究结果相比,广义生物动力系统失稳的时滞阈值降低了。最后介绍了上述研究成果在赤潮及其控制理论方面的应用。 (六)利用广义系统理论与分岔理论研究了食饵种群具有传染病的广义生物动力系统在正平衡点附近的局部分岔行为,并应用定性与定量相结合的方法分析了该系统的复杂动态行为。研究结果表明,当捕获行为的经济利益由负变正通过零时,上述系统会在正平衡点附近出现奇异诱导分岔。另一方面,当经济利益为零,即出现“生态经济平衡”现象时,随着食饵种群间疾病传染率的变化,系统会出现复杂动态行为,即由周期状态到混沌状态并最终进入准周期状态。为了保证系统内各种群的可持续发展,需要将食饵种群间的疾病传染率控制在一定范围内。
【学位授予单位】:东北大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O19;O231

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