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《辽宁师范大学》 2016年
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非凸优化的近似束方法及收敛理论

刘晓倩  
【摘要】:束方法目前是解决非光滑优化问题最有前景的方法之一.出于实际计算的需要,本文使用两个扰动函数共同控制真实目标函数,利用它们的信息构建增广函数,从而把凸优化迫近束方法应用到非凸问题中来.首先,类似地建立目标函数的下近似模型,通过求解二次规划最小值点作为下一个候选点,进一步再筛选出下降点,并提出了具体算法.其次,本文利用Lagrange函数写出了束方法子问题的对偶问题,揭示了扰动后对偶问题的最优解和原问题的最优解之间的关系.最后,本文从模型具有的性质和算法的渐近行为两个方面研究了构造算法的收敛性问题.本论文根据实际情况构造更一般的非凸非光滑函数的下近似模型,探究束方法的对偶问题和具体算法的收敛性问题.全文共分为四个部分,其主要内容如下:第一章,首先列举一系列经典的非凸非光滑函数优化问题相关文献,通过对这些论文思想的讨论,引出一个新思想:本文我们将非凸函数的重新分配迫近束方法和对目标函数采取近似虚拟值的选取技巧相结合,求解更一般化的非凸非光滑无约束优化问题.其中:f:R~n→R是一个非凸函数.出于实际计算的需要,本文使用两个扰动函数共同控制真实目标函数:假设 ,其中m(y)是光滑函数且m(y)∈[-n,n];f(4)(y)是一个相对简单的非光滑函数且.接下来,我们给出一些预备知识:迫近有界、lower-C2函数、近似迫近点映射Rp、近似稳定点等基本概念.第二章,主要讨论模型的构建:在每次迭代过程中,束方法保留了不精确束信息,对近似函数,在下降点?xk点构建增广函数,并利用凸优化束方法思想类似地建立增广函数的下近似模型,通过近似线性化误差等迭代信息构建切平面模型,根据,也就是求解二次规划最小值点选取下一个候选点,进一步再筛选出下降点,然后更新束信息,循环以上步骤继续求解下一个下降点.最后给出近似束方法算法,使束方法整体逻辑更清晰.第三章,利用Lagrange函数写出了束方法子问题的对偶问题,揭示了扰动后对偶问题的近似最优解和原问题的近似最优解之间的关系.然后给出三个相关次梯度所属关系,并进行了严格的理论证明.第四章,针对第二章中构造的切平面模型,分析并证明了模型具有的四个性质,同时考虑随着迭代进行而产生的相应的切平面模型族,发现当迭代到一定程度时,参数μ_n和η_n最终稳定;与此同时,我们还得出一个类似于文献[29]的不等式,并给与了证明.最后我们考虑了算法的停止准则,假设TOL_(stop)=0,并且算法没有终止,我们从两种情况加以分析并证明了算法的渐近收敛性.
【关键词】:非光滑非凸优化 次梯度 近似值 束方法 对偶问题 收敛性分析
【学位授予单位】:辽宁师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O224
【目录】:
  • 摘要4-6
  • Abstract6-9
  • 第一章 绪论9-15
  • 1.1 束方法的历史背景及分类9-11
  • 1.2 带有虚拟值的非凸非光滑无约束优化问题11-12
  • 1.3 预备知识12-15
  • 第二章 近似束方法的基本框架15-22
  • 2.1 构建下近似切平面模型15-17
  • 2.2 具体算法17-22
  • 第三章 对偶问题22-27
  • 3.1 对偶问题研究的意义22
  • 3.2 非凸非光滑无约束问题对偶问题的研究22-27
  • 第四章 收敛理论27-36
  • 4.1 下近似切平面模型的性质27-29
  • 4.2 算法的渐近行为29-36
  • 结论36-38
  • 参考文献38-42
  • 攻读硕士学位期间发表学术论文情况42-43
  • 致谢43

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