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《上海师范大学》 2017年
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动力系统的随机扰动

陈立锋  
【摘要】:本文主要研究随机小扰动下动力系统的渐近性态,其主体由如下两大部分组成.第一部分,首先给出抽象研究(半)动力系统Ψ在随机扰动且其噪声强度为?下构成的Markov过程X~?={X_?~t}t≥0的平稳测度μ~?,当?→0时,μ~?的渐近性态的一般框架.证明了μ~?的任意弱收敛极限必是Ψ不变的,且其支撑落在Ψ的Birkhoff中心.接着,将此抽象结果应用于各类时间演化的随机系统,更确切地,完整系统给出了一套针对由Wiener过程或Lévy过程驱动的随机常微分方程、随机偏微分方程(包括随机反应扩散方程,随机Navier-Stokes方程和随机Burgers方程等)、随机泛函微分方程和常步长随机逼近都行之有效的理论,并在具体例子的应用中发现平稳测度新的极限现象;并且将此抽象结果应用于由Wiener过程驱动的随机反应扩散方程和由Lévy过程驱动的随机二维Navier-Stokes方程组以及一类由Wiener过程驱动的随机泛函微分方程,得到了相应的结果。在第二部分中,对白噪声扰动的且具有相同内禀增长率的Lotka-Volterra系统(简称随机Lotka-Volterra系统)首先发现了解的分解公式,即此随机系统的解可表示为随机logistic系统的解与对应确定性Lotka-Volterra系统的解之积,并借助于此公式证明了随机系统的解可生成随机动力系统.然后,分别通过轨道观点和分布观点研究了拉回轨道的渐近性态,吸引域和平稳测度的存在性,及其在正不变集上的惟一遍历性.特别地,对三维随机Lotka-Volterra竞争系统,基于对应确定性系统的nullcline等价类给出的37种动力学完整分类,可进一步从轨道和分布意义下分别给出与确定性相对应的完整分类.最后,结合分布意义下的分类和第一部分给出的关于平稳测度族渐近性态研究的理论,完整系统讨论了极限分布的性态。
【关键词】:平稳测度 弱极限 Lyapunov函数 支撑 Birkhoff中心 随机演化系统 惟一性 分解公式 随机动力系统 Lotka-Volterra系统
【学位授予单位】:上海师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O19
【目录】:
  • 摘要5-6
  • ABSTRACT6-9
  • 符号说明9-11
  • 第一章 序言11-21
  • 1.1 动力系统随机扰动研究的历史进展11-12
  • 1.2 主要研究结果12-21
  • 1.2.1 时间演化随机系统的弱收敛极限及其支撑13-15
  • 1.2.2 随机扰动的Lotka-Volterra系统15-21
  • 第二章 小噪声强度下随机演化系统的平稳测度族的极限性态21-67
  • 2.1 引言21
  • 2.2 极限测度研究的一般框架21-24
  • 2.3 由Lévy过程驱动的随机常微分方程24-41
  • 2.3.1 依概率收敛准则25-28
  • 2.3.2 平稳测度的存在性以及胎紧性准则28-30
  • 2.3.3 平稳测度的惟一遍历性30-35
  • 2.3.4 例子35-41
  • 2.4 在随机偏微分方程中的应用41-54
  • 2.4.1 以多项式非线性的随机反应扩散方程42-48
  • 2.4.2 由Lévy过程驱动的二维Navier-Stokes方程组48-54
  • 2.5 由Wiener过程驱动的随机泛函微分方程54-64
  • 附录A:半流或连续动力系统的 Poincaré回复定理64-67
  • 第三章 随机Lotka-Volterra系系统的分解公式与平稳测度及其应用67-111
  • 3.1 引言67-68
  • 3.2 随机分解公式68-71
  • 3.2.1 预备知识与结果68-69
  • 3.2.2 随机分解公式的证明69-71
  • 3.3 随机Lotka-Volterra系统的长时间性态71-77
  • 3.4 平稳测度, 弱收敛以及遍历性77-85
  • 3.5 平稳测度的极限测度及其支撑85-90
  • 3.6 三维随机的Lotka-Volterra竞争系统的完整分类90-103
  • 3.6.1 随机Lotka-Volterra竞争系统的一般性质90-93
  • 3.6.2 三维确定性的Lotka-Volterra竞争系统的分类回顾93-95
  • 3.6.3 拉回轨道渐近性态的完整分类95-96
  • 3.6.4 依分布意义下的分类96-103
  • 附录B:三维确定性与随机具有相同内禀增长率的 Lotka-Volterra 竞争系统的动力学完整分类103-108
  • 附录C:湍流特性: 占位时平均极限的非惟一性108-111
  • 参考文献111-119
  • 攻读博士学位期间的研究成果119-121
  • 致谢121

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