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《中国科学技术大学》 2017年
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关于几何偏微分方程的若干研究

朱静勇  
【摘要】:本文的主要内容有两个部分,分三章.第一部分包括第二章和第三章,分别研究了二阶椭圆方程中做先验估计的两种方法——下解方法和P-函数方法.第二章以四元数Monge-Ampere方程的Dirichlet问题为例,利用下解方法我们推导出解在一般区域上的先验估计,并以此得到一个存在性定理.从而,我们可以回答S.Alesker在文献[4]中提出的第四个问题.第三章主要考虑三维Minkowski空间中常平均曲率方程的Dirichlet问题.基于解的临界点的唯一性,我们利用P-函数方法改进文献[14]中的梯度估计,从而,获得解的高度估计.最后,在本文的第二部分(即第四章),我们集中讨论双曲空间中的浸入超曲面和球的区域上共形度量之间的关系,并将文献[17]中的整体对应关系推广至二维。作为应用,我们得到一个Liouville型定理和一个新的更强的Bernstein型定理.
【关键词】:先验估计 四元数Monge-Ampere方程 Dirichlet问题 高度估计 常平均曲率 双曲空间 弱Horo-凸 Bernstein定理 Liouville定理 共形度量
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O175.2;O186.1
【目录】:
  • 摘要5-6
  • Abstract6-8
  • 第1章 前言8-16
  • 1.1 复流形上的完全非线性方程8-11
  • 1.2 一般黎曼流形上的完全非线性方程11-13
  • 1.3 本文的主要结果13-16
  • 第2章 四元数Monge-Ampere方程的Dirichlet问题16-34
  • 2.1 引言和主要结果16-18
  • 2.2 线性代数18-22
  • 2.3 C~1估计和部分C~2估计22-28
  • 2.4 二阶双法向导数估计28-32
  • 2.5 下解的构造32-34
  • 第3章 Lorentz-Minkowski空间中类空常平均曲率图34-54
  • 3.1 引言及主要结果34-38
  • 3.2 记号及局部比较技巧38-41
  • 3.3 鞍点的存在性41-44
  • 3.4 临界点的唯一性44-45
  • 3.5 C~0和C~1估计45-54
  • 第4章 双曲空间中的超曲面和球的区域上共形度量54-68
  • 4.1 引言及主要结果54-58
  • 4.2 局部理论58-61
  • 4.3 整体理论61-64
  • 4.4 应用——嵌入定理以及Bernstein型定理64-68
  • 参考文献68-74
  • 致谢74-76
  • 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果76

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