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《中国科学技术大学》 2017年
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动力系统敏感性和不交性中若干问题的研究

于涛  
【摘要】:本文主要研究族意义下的拓扑与测度敏感性,对不交性问题也有所涉及.具体安排如下:在第一章中,我们简要回顾拓扑动力系统和遍历理论的发展历程和主要的研究内容,并介绍本文研究背景以及主要研究成果.在第二章中,我们简单介绍一些拓扑动力系统和遍历理论的基本定义和性质,以及后文将要用到的一些概念和结论.第三章到第六章是本文的主体部分,详细介绍我们的主要研究成果.在第三章中,我们主要研究拓扑族敏感.特别地,我们引入分块thick敏感,分块IP敏感,强thick敏感和强IP敏感的概念.运用极小流结构定理,我们证明极小系统要么是强thick敏感要么是其极大distal因子的proximal扩充.运用遍历理论的方法和极大无穷步幂零因子的性质,给出了以下的结果(1)极小系统要么是分块IP敏感要么是其极大无穷步幂零因子的几乎一对一扩充;(2)极小系统要么是分块thick敏感要么是其极大等度连续因子的proximal扩充;(3)极小系统要么是强IP敏感要么是其极大distal因子的几乎一对一扩充.这些结果将极小系统在族的意义下的敏感性与系统本身的结构一一对应起来,用敏感的语言给出极小系统结构的另一种刻画.在第四章中,我们主要研究测度族敏感.由于拓扑动力系统(X,T)存在不变测度μ,所以(,Bx,μ,T可以被视为一个保测系统,其中Bx是X的Borel σ-代数.我们引入thick-μ敏感,IP-μ敏感,分块thick-μ敏感和分块IP-μ敏感的概念,并且证明了对极小系统:(1)thick-μ敏感与thick敏感是等价的;(2)分块thick-μ敏感与分块thick敏感是等价的;(3)分块IP-μ敏感与分块IP敏感是等价的.在第五章中,我们引入向量敏感的概念,并且着重研究两种特例:l-敏感和δ-l-敏感.我们证明即使对任意正整数l,系统是l-敏感,系统也不一定是多重敏感的;并且构造一个极小系统是l-敏感但不是(l + 1)-敏感.为了区分δ-l-敏感和δ-(l + 1)-敏感,我们构造一个极小系统(弱混合系统)是δ-l-敏感但不是δ-(l + 1)-敏感.在第六章中,我们研究了群作用下与极小系统都不交的系统的性质.证明了当G是交换群时,如果(X,G)是弱混合系统且distal点稠密,那么(X,G)与极小系统都不交,将董攀登,邵松和叶向东[20]的工作推广到交换群作用.又证明了如果(X,Zd)是传递的且与极小系统都不交,那么(X,Zd)是弱混合M-系统且没有非平凡的的极小因子,将黄文和叶向东[58]的工作推广到Zd作用。
【关键词】:敏感 测度敏感 向量敏感 不交性
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O189.1;O19
【目录】:
  • 摘要5-7
  • ABSTRACT7-11
  • 第一章 绪论11-19
  • 1.0.1 拓扑族敏感13-15
  • 1.0.2 测度族敏感15-16
  • 1.0.3 向量敏感16-17
  • 1.0.4 不交性17-19
  • 第二章 预备知识19-37
  • 2.1 基本概念19-22
  • 2.1.1 拓扑动力系统19-20
  • 2.1.2 保测系统和不变测度20-22
  • 2.2 极小系统的结构22-28
  • 2.2.1 因子与扩充22
  • 2.2.2 等度连续系统与distal系统22-25
  • 2.2.3 极小流结构定理25-26
  • 2.2.4 幂零系统和高阶局部proximal关系26-28
  • 2.3 Furstenberg族,Ellis半群和Ellis群28-31
  • 2.3.1 Furstenberg族28
  • 2.3.2 一些常见的族28-29
  • 2.3.3 Ellis半群29-30
  • 2.3.4 Ellis群30-31
  • 2.4 经典例子31-34
  • 2.5 关于敏感的一些结果34-37
  • 2.5.1 各种形式的敏感34-35
  • 2.5.2 敏感串和测度敏感串35-37
  • 第三章 拓扑族敏感37-55
  • 3.1 F-敏感38-40
  • 3.2. 分块敏感,强F_(fip)-敏感和强F_(ip)-敏感40-47
  • 3.2.1 分块F_t-敏感40-41
  • 3.2.2 分块F_(ip)-敏感和强F_(fip)-敏感41-45
  • 3.2.3 强F_(ip)-敏感45-47
  • 3.3 强F_t-敏感47-51
  • 3.4 强F_(Poin_d)和强F_(d,0~*)-敏感51-55
  • 第四章 测度敏感55-65
  • 4.1 F-μ-敏感55-57
  • 4.2 分块F-μ-敏感和F-μ-敏感57-61
  • 4.2.1 分块F_t-μ-敏感57-58
  • 4.2.2 F_t-μ-敏感58-59
  • 4.2.3 分块F_(ip)-μ-敏感59-61
  • 4.3 强F-μ-敏感61-65
  • 4.3.1 强F_(ip)-μ-敏感61-63
  • 4.3.2 强F_s-μ-敏感和强F_t-μ-敏感63-65
  • 第五章 向量敏感65-75
  • 5.1 l-敏感65-70
  • 5.2 △-l-敏感70-75
  • 第六章 不交性75-89
  • 6.1 系统在M~⊥中的充分条件75-77
  • 6.2 系统在M~⊥中的必要条件77-89
  • 参考文献89-95
  • 致谢95-97
  • 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果97

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