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《电子科技大学》 2015年
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关于动力系统混沌性质及跟踪性质的研究

吴新星  
【摘要】:本学位论文研究拓扑动力系统的相关混沌性质和平均意义下的跟踪性质.主要完成以下四部分工作:一、研究动力系统在迭代,逆极限,超空间及g-模糊化运算下的一些动力性质,并得到了如下结论:(1)证明一致收敛的非自治系统是p-混沌的当且仅当其任意正整数次迭代系统都是p-混沌的,其中p为如下混沌性质之一Li-Yorke混沌、稠混沌、稠δ-混沌、全局混沌、全局δ-混沌、Li-Yorke敏感、初值敏感依赖、spatiotemporal混沌、DC1-混沌、DC2-混沌.同时证明乘积系统是多重敏感的当且仅当存在因子系统是多重敏感的;该结果肯定地回答了Li和Zhou于2013年在Turkish Journal of Mathematics提出的一个问题.(2)首先得到动力系统是弱混合的(或者,拓扑混合的)当且仅当其超空间系统是拓扑传递的(相应地,拓扑混合的)当且仅当其Zadeh-扩张系统是拓扑传递的(相应地,拓扑混合的)等价于其g-模糊化系统是弱混合的.同时得到一个充分条件,使得定义在空间X上的任意连续自映射的g-模糊化系统都不是拓扑传递的.其次证明若g-模糊化系统是初值敏感依赖的,则超空间系统是初值敏感依赖的;并且举例说明存在初值敏感依赖的动力系统,使得对任意g,其g-模糊化系统都不是初值敏感依赖的.以上结果否定地回答了Kupka于2014年在Information Sciences提出的关于g-模糊化系统弱混合性质和初值敏感依赖性的问题.二、对符号动力系统(∑2,σ),构造了一个不可数的不变分布ε-混沌集,对任意0£diam∑2同时证明对如下定义的系统f:∑2×S1(?)(x,t)→(σ(x),Rrx1(t))∈∑2×S1, (?)x=x1x2…∈∑2,(?)t∈S1,其中S1={e2πiθ:0≤θ1}(?)C;(∑2×S1,f)存在不可数的分布β-混沌集,对任意0β≤diam∑2×S1=1.本结果肯定地回答了Wang等于2003年在Annales Polonici Mathematici提出的一个问题.三、研究线性系统的混沌性质.首先得到对Banach空间上的有界线性算子,Li-Yorke混沌,序列分布混沌,Li-Yorke敏感和spatiotemporal-混沌等价,并且它们都严格的强于初值敏感依赖性.其次,研究定义在Kithe序列空间λP(A)上权移位算子Bw的各种混沌性质(主要是Li-Yorke混沌,各种分布混沌),得到Bw为Li-Yorke混沌的一系列等价刻画;并且证明如果存在x,y∈λp(A)及δ0,使得liminfn→∞(1/n)|{0≤jn:d(Bwj(x),Bwj(y))δ}|1,则存在£0,使得Bw有一个不可数的不变DC2-ε-混沌集和一个不变的DC2-混沌线性流形.同时得到一个充分条件,使得BW含有不变的分布£-混沌集,对任意0εdiamλp(A).作为推论得到量子谐振子中的湮没算符a=(?)(x+d/dx)的准测度为1.这个结果回答了Oprocha于2006年在Journal of Physics A:Mathematical and General提出的关于a准测度精确值的问题.四、考察动力系统的跟踪性质主要是平均意义下的跟踪性质.首先证明Mα-跟踪性质和Mα-跟踪性质在迭代运算下都是保持的;并且得到如果动力系统在某个包含其测度中心的闭不变子集上具有α-跟踪性质,则该动力系统具有α-跟踪性质.进而证明动力系统具有几乎specification-性质当且仅当其测度中心上的限制系统具有几乎specification-性质.所以几乎specification-性质强于渐近平均跟踪性质.该结果部分地回答了Kulczycki, Kwietniak和Oprocha于2014年在Fundamenta Mathematicae提出的一个开问题.其次,利用以上结果和Mα-跟踪性质得到在毋需‘满射’的假设下,以下关系成立:几乎-specification性质(?)渐近平均跟踪性质(?)弱渐近平均跟踪性质(?)平均跟踪性质等(?)Mα-跟踪性质,Va∈(0,1](?)d-跟踪性质+d-跟踪性质.该结论改进了Kulczycki, Kwietniak和Oprocha关于各种跟踪性质关系的主要结果.最后,考察跟踪性质与一些传递性质及初值敏感依赖性之间的关系.特别地,我们证明不存在具有d-跟踪性质或者d-跟踪性质的非平凡的等度连续满射系统.
【关键词】:拓扑动力系统 混沌 超空间 g-模糊化 跟踪性质
【学位授予单位】:电子科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O19
【目录】:
  • 摘要5-7
  • ABSTRACT7-12
  • 主要符号表12-14
  • 第一章 绪论14-22
  • 第二章 动力系统基础及混沌22-34
  • 2.1 拓扑动力系统22-25
  • 2.2 混沌25-30
  • 2.3 Furstenberg族30-34
  • 第三章 迭代系统及逆极限系统的混沌性质34-65
  • 3.1 混沌的迭代性质34-46
  • 3.1.1 非自治离散动力系统34-35
  • 3.1.2 系统(X,f_(1,∞)~([k]))的p-混沌性35-38
  • 3.1.3 系统(X,f_(1,∞)~([k]))的分布混沌性38-41
  • 3.1.4 例子41-45
  • 3.1.5 关于Devaney混沌迭代性质的一个注记45-46
  • 3.2 逆极限系统的混沌性质46-65
  • 3.2.1 逆极限系统的F-混合性质47-50
  • 3.2.2 逆极限系统的(F_1,F_2)-处处混沌50-52
  • 3.2.3 关于不稳定轨道的注记52-54
  • 3.2.4 逆极限系统的双Furstenberg族混沌54-60
  • 3.2.5 乘积系统的双Furstenberg族混沌60-65
  • 第四章 超空间系统及g-模糊化系统的混沌性65-84
  • 4.1 超空间系统及其基础知识65-67
  • 4.2 超空间系统的F-敏感与多重敏感67-72
  • 4.3 关于多重敏感的一个问题72-73
  • 4.4 g-模糊化及其基础知识73-75
  • 4.5 g-模糊系统的动力性质75-84
  • 4.5.1 g-模糊系统的敏感依赖性76-79
  • 4.5.2 g-模糊系统的弱混合性质79-82
  • 4.5.3 g-模糊系统的传递性82-84
  • 第五章 符号动力系统(∑_2,σ)及其相关系统的分布混沌性84-95
  • 5.1 (∑_2,σ)的不变分布混沌性84-85
  • 5.2 主要结果85-88
  • 5.3 一个特殊的三角映射88-95
  • 第六章 线性混沌95-130
  • 6.1 Banach空间上有界线性算子的混沌性97-100
  • 6.2 Kothe序列空间上权移位算子的混沌性100-122
  • 6.2.1 Kothe序列空间102-103
  • 6.2.2 移位算子的Li-Yorke混沌103-110
  • 6.2.3 移位算子的DC_2-混沌性110-117
  • 6.2.4 权移位算子中的不变第一类型分布混沌集117-122
  • 6.3 平移C_0-半群的Li-Yorke混沌122-130
  • 第七章 动力系统的平均跟踪性质130-166
  • 7.1 基本定义132-135
  • 7.2 M~α-跟踪性质和M_α-跟踪性质135-143
  • 7.3 AASP蕴含ASP143-145
  • 7.4 再论M_α-跟踪性质和ASP145-151
  • 7.5 测度中心动力和跟踪性质151-154
  • 7.5.1 测度中心的M_α-跟踪性质151-152
  • 7.5.2 (几乎)specification-性质和测度中心152-154
  • 7.6 具有d-跟踪性质系统的敏感性154-161
  • 7.6.1 d-跟踪性质和syndetic-传递性155-156
  • 7.6.2 d-跟踪性质与等度连续156-157
  • 7.6.3 d-跟踪性质和等度连续性157-161
  • 7.7 逆极限系统的遍历伪轨跟踪性质161-166
  • 7.7.1 逆极限系统(X_∞,f_∞)的遍历伪轨跟踪性161-163
  • 7.7.2 逆极限系统(X_f,σ_f)的遍历伪轨跟踪性质163-166
  • 致谢166-167
  • 参考文献167-180
  • 攻博期间取得的研究成果180-182

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