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《中国科学院大学(中国科学院武汉物理与数学研究所)》 2017年
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几类非线性变分椭圆型方程的研究

谷龙江  
【摘要】:在本文中,我们利用变分方法研究了三类非线性椭圆问题。在第二章,对于强不定问题,我们证明了一个新的喷泉定理,即第二章中的定理2.2。我们去掉了已有文献中相关喷泉定理关于变分泛函的τ-上半连续性条件,所以该喷泉定理在处理一些非线性项变号的椭圆问题所对应的强不定问题时亦是有效的。作为一个简单的应用,本文我们研究了如下的椭圆型Schrodinger方程:(?)其中1qp/(p-1)2N-2*=(?),位势函数V(x)和权函数g(x)都是变号的。利用我们证明的喷泉定理,即本文的定理2.2,证明了方程(P1)有无穷多解。在第三章中,我们还研究了一类带周期位势的Schrodinger方程,简单地看,这类方程具有如下形式:其中,位势函数V(x)关于x1,...,以是1-周期的,2rq2*.若非线性项中的低阶扰动足够小,即,λ0足够小时(对更一般的非线性项可参看第三章中的条件(f1)-(f5)及注3),我们证明了方程(P2)无穷多解的存在性。首先,我们使用新的技巧分析了方程(P2)变分泛函的(PS)序列的结构。然后,由于τ-上半连续性条件的缺失带来的困难,我们使用新的方法证明了形变引理。在第四章中,我们使用约束变分方法研究了如下的p-Laplace方程的非线性特征值问题:-△pu + V(x)|u|p-2u = μ|u|p-2u + a|u|s-2u,x∈Rn,(P3)其中p€(1,n),s=p+p2/n,a≥0和μ∈R为参数,负位势数数V(x)是制的利用约束变分方法,我们证明了:存在临界参数a*使得当0≤aa*时,方程(P3)存在基态解,而当a ≥ a*时,方程(P3)不存在基态解。然后,通过能量估计方法,我们讨论了当a从下方逼近a*时,方程(P3)基态解的渐近行为。特别地,当位势函数V(x)是"多项式"型时,我们给出了(P3)的基态解的精确爆破率。该结果将已有p = N = 2时相关结果推广到了一般情形。
【关键词】:椭圆型方程 变分法 喷泉定理 形变引理 强不定问题 无穷多解 p-Laplace方程 约束变分问题 存在性 渐近行为
【学位授予单位】:中国科学院大学(中国科学院武汉物理与数学研究所)
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O175.25
【目录】:
  • 致谢4-6
  • 摘要6-8
  • Abstract8-12
  • 1 绪论12-16
  • 1.1 研究背景介绍12-14
  • 1.2 本文结构安排14-16
  • 2 一个喷泉定理及其应用16-34
  • 2.1 背景介绍与主要结论16-20
  • 2.2 喷泉定理的证明20-26
  • 2.3 一个应用26-34
  • 3 含有变号非线性项的周期薛定谔方程的多解存在性34-58
  • 3.1 问题的提出34-37
  • 3.2 一些引理37-43
  • 3.3 两个形变引理43-52
  • 3.4 主要定理的证明52-58
  • 4 拟线性方程基态解的存在性及其渐近行为58-76
  • 4.1 引言58-62
  • 4.2 预备知识62-65
  • 4.3 基态解的存在性结论65-68
  • 4.4 一般位势情况下基态解的集中行为68-73
  • 4.5 "多项式"型位势情况下基态解的集中行为73-76
  • 5 问题展望76-78
  • 附录78-84
  • A.1 关于同伦映射容许性的证明78-79
  • A.2 Schrodinger算子的谱分解79-81
  • A.3 一个拟线性问题的局部有界性结论81-82
  • A.4 W~(1,p)(R~N)中的集中紧性引理82-84
  • 参考文献84-90
  • 作者简历及在学期间发表的学术论文与研究成果90-92
  • 学位论文数据集92

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